このページは2004年11月頃に作成しましたが、サーバが移転したことと、各ブラウザがフラッシュムービーに対応しなくなったため、2016年5月に一部作り直しました。
フラッシュムービーに代えて、gifアニメがチャカチャカ動くだけで何故か1900年台WEBの雰囲気に変わるな。

Prytzタイプ プラニメータ

最初は何だか判らなかったのですが、良く調べたら英語のWebに説明しているものがありました。 　日本のＹオークションはもとより、アメリカのｅでも見かけたことはありません。

http://persweb.wabash.edu/facstaff/footer/Planimeter/Prytz/Prytz.htm　fig.01

Prytzは原理や形を示すのではなく人の名前です。他のプラニメータとは違って、いたってシンプルな構造をしています。 　大きなカスガイ型（といっても解らない人が多いか？）をしていて２本脚で立たせるように使います。片脚は針状に尖っていて面積を求めたい図形をなぞります。もう片脚は斧状に整形してあり、紙の上においたときにプラニメータの軸方向にはスケート靴よろしく滑り動きますが、直角方向には動かないようになっています。また斧側の脚と針脚の間の距離はあらかじめ判っています。

fig.02

使い方は簡単。測定したい図形の脇にプラニメータを２脚で立たせ、針脚で図形を一周なぞります。斧脚は引きずられてジグザクに動くので、スタートとゴール時の斧脚の位置をマークします。この２点を結び、脚の間の距離Ｌを半径とする円弧の長さＮを測ると、元の図形の面積 Ｓ＝Ｌ*Ｎ と求められます。（fig.03）　あまりにも簡単なのですが誤差が含まれており、斧脚のスタート位置よって大きく左右されますし、計測したい図形に対してプラニメータが十分な大きさを持っていない場合には使い物になりません。（fig.04） そこまで解っていて簡便に使うために、プラニメータ本体を半径Ｌのカーブにして目盛りを切ったものもあるようです。これなら始終点にプラニメータをあてがうだけで面積が直読できます。（fig.02）	fig.03
	fig.04

１　プラニメータで面積を計測する準備の１ 　どのタイプのプラニメータでも棒を紙の上で動かし、棒が通過したエリアの面積を考えることが基本になっています。棒の代わりに長さＬの直線Ａが動く状態を考えると（fig.05）のような平行移動と回転移動に分解され、通過するエリアの面積 ΔＳ＝（δθ*Ｌ2/2）＋（δｄ*Ｌ） となります。 δｄはＡが直角方向に移動する距離で上向きを(＋)。δθはＡの左端ｂを中心に左回りを(＋)としています。また、Ａが(−)方向に移動・回転する際には概念的に負の面積となります。

fig.05

２　プラニメータで面積を計測する準備の２ 　平面上で移動し、元の位置に戻ってくる直線Ａについて観察します。正方向でＡが通過したエリアを黄色、負方向でＡが通過したエリアを青色（正/負で相殺されたエリアは無色に戻る）に塗ってみると（fig.06）のようになります。 この例ではＡの右端ａが描いた図形（黄色で塗られている）の面積Ｓaと、左端ｂが描いた図形の面積Ｓb（青色で塗られ、計算上は負）が現れています。ｂが描いた図形の実面積をＳb'とし、Ｓaと併せて、計算で求められるＡの通過エリアの面積 Ｓ＝�唐r＝�刀iδθ*Ｌ2/2＋δｄ*Ｌ） を見比べると、 全周を積分した結果、黄色と青の図形分は相殺されずに残り、計算上の結果は Ｓ＝Ｓa+Ｓb となり、実面積（正の数）をうまく当てはめようとすると。 Ｓ＝Ｓa-Ｓb' となることが解ります。

fig.06

Ａの動き方によっては（fig.07）のようにｂ端が８の字を描いたりもするので、計算上の面積Ｓbも正になったり負になったり、あるいは零になったりします。（零になった時にはＳb'も零になります） この辺が大変怪しいのですが、Ａの動き方によらず Ｓ＝Ｓa−Ｓb'　【一般公式】 は成立するとのことです。

fig.07

３　Prytzプラニメータの原理 　リニアタイプとポーラータイプのプラニメータは計測に関わる腕Ａは１周して元の位置に戻りますが、Prytzタイプはｂ端が別の位置に移動します。この際重要なことは、ｂ端は斧状に整形してある為、ｂ端を中心に回転するか、Ａ軸に平行にしか動けないということです。 　（fig.08）ではａ端を一周させた結果、ｂ端はジクザクに移動しｂ'の位置に移りますが、斧脚の特徴からＡは直角方向の移動はしておらず、計測に関わるパラメータとしてはｂ端を中心とした回転が発生しているのみです。 　次に【一般公式】を用いるためにＡをａ端部を中心に回転させ、スタート位置まで戻します（ｂ'端をｂの位置へ動かす）。 ｂ端はａを中心として円弧を描きながら距離Ｎを移動することになりますが、すなわちＡに直交する方向に距離Ｎの移動が生じます。また逆に、Ａ軸の総回転�刀iδθ）は軸が元の位置に戻ってしまったことから0になっています。 　最終的にＡの通過エリアの面積 Ｓ＝�刀iδθ*Ｌ^2/2＋δｄ*Ｌ） 　＝�刀iδθ）*Ｌ^2/2＋�刀iδｄ）*Ｌ 　＝0＋Ｎ*Ｌ となりますが、これを【一般公式】に代入すると Ｓ＝Ｎ*Ｌ 　＝Ｓa-Ｓb' となります。

fig.08

先にも書いたように、ａ端がたどるルートによってＳb'は様々に変化します。例えば（fig.09）はスタート位置を変えたものですがｂ端が ８の字を描き相殺される分を含めＳb'は（fig.08）より小さくなります。かなり難しいのですが、適切なルート選択ができれば　Ｓb'＝0　となり Ｓa＝Ｎ*Ｌ となります。

fig.09

2016年6月、せっかく簡単な構造なので自作して、測ってみた

図面をなぞると、始点と終点を結ぶ線を底辺として、斜辺長200mmの二等辺三角形が出来上がるので、円弧の長さは計算することにします。“弦 弧 長さ”などで検索すると便利に計算してくれるサイトがいくつか上がってきます。
また、単純に図形を一周するのではなく、中心付近からスタートさせて、時計回りと反時計回りの２回計測させるのがよさそうです。

ということで計測結果

一辺80mmの正方形(青色)を反時計回り一回計測した結果
　弦長　31.5mm　→　弧長　31.53mm
　200×31.53＝6,306mm^2
　80^2＝6,400mm^2ですから誤差▲1.5％

一辺120mmの正方形(赤色)を反時計回り一回計測した結果
　弦長　71.5mm　→　弧長　71.89mm
　200×71.89＝14,378mm^2
　120^2＝14,400mm^2ですから誤差▲0.2％
時計回りになぞると弦長72.5mmでプラス方向の誤差が生まれるので、相殺させると14,480mm^2となかなかいい値が出ます

半径60mmの円(橙色)を反時計回り一回計測した結果
　弦長　54.0mm　→　弧長　54.17mm
　200×54.17＝10,834mm^2
　60^2*π＝11,304mm^2ですから誤差▲4.2％

一辺100mmの正三角形(緑色)を反時計回り一回計測した結果
　弦長　21.5mm　→　弧長　21.51mm
　200×21.51＝4,302mm^2
　正三角形の面積は　√3/4*100^2＝4,330mm^2ですから誤差▲0.6％