このページは2005年3月頃に作成しましたが、サーバが移転したことと、各ブラウザがフラッシュムービーに対応しなくなったため、2016年5月に一部作り直しました。
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　という訳で英語のサイトを幾つか眺めながら、原理を意訳してみました。

　手元にあるプラニメータは、ひとつがポーラー・プラニメータ [Polar-Planimeter] というタイプ。極点（polar）として固定される点があり、途中に関節のあるアームがその周りを動きます。

polar

　もうひとつは、リニア・プラニメータ [Linear-Planimeter] というタイプ。機構としては１本の軸が固定され、関節のないアームが軸に添って動きます。最近のデジタルプラニメータは、このタイプに該当すると思います。
実はもう一種類 Prytz Type Planimeter というのもありますが、オークションも含めてみたことがありません。

linear

　さて原理ですが、まずリニアタイプ。こっちは積分がでてこない。
  1. プラニメータの構造のおさらい
    　固定された黒線の軸上を青線のアームが首を振りながら動きます。このときアームにはそれを軸として赤い車輪が付いていて、アームの動きのうちアームに直角方向の距離を計測します。　fig.1
  2. モデルとして、黒軸に平行に置いてある緑の長方形を考えます。 　アームの先端がＡからＡ'まで移動する時、アームによって黄色の平行四辺形が形作られます。この平行四辺形の面積Ｓ１は、
    • 長さＬ（既定値）のアームを底辺
    • 赤車輪によってアームと直角方向の移動距離ｄが計測できるので、これを高さ
    とすると
    Ｓ１＝Ｌ*ｄ
    になります。　fig.2
  3. １行程跳ばして、アームの先端がＢ'からＢまで移動する時は、アームによって作られる水色の平行四辺形の面積Ｓ２は、
    Ｓ２＝Ｌ*ｄ'
    になります。
    この時赤車輪は、Ａ→Ａ'の時とは逆に回転しているので値としては負数になります。　fig.3
  4. アーム先端がＢからＡまで移動する時に作るピンクの四角形と、Ａ'からＢ'まで移動する時に作るピンクの四角形は合同になります。
    四角形の面積、Ｓ３とＳ４は同じですが、赤車輪は逆方向に回転しているため相殺され、値としては
    Ｓ３＋Ｓ４＝０
    になります。　fig.4,5
  5. 再度、Ｓ１の面積をもつ平行四辺形（赤網掛け）に注目します。この平行四辺形はＡからＡ'の距離αを底辺、黒軸からＡまでの距離βを高さと見る事も出来ます。　fig.6
  6. 底辺・高さを維持したまま変形させると、ＡＡ'を一辺とする長方形（青網掛け）になります。この場合でも底辺α、高さβは変わっていませんから
    Ｓ１＝Ｓ１'＝α*β
    となります。　fig.7
  7. 同様にＳ２の平行四辺形に注目するとγを高さとする長方形（黄網掛け）になり
    Ｓ２＝Ｓ２'＝α*γ
    となります。　fig.8
  8. 求めたい緑の長方形の面積Ｓは
    Ｓ＝Ｓ１'−Ｓ２'
    　＝Ｓ１−Ｓ２
    　＝Ｌ*ｄ−Ｌ*ｄ'
    　＝Ｌ(ｄ−ｄ')
    ｄ'は赤車輪が逆回転していることから自ずと負数になっています。そのため結局、アーム先端が緑の長方形を一周した時の赤車輪が示す値を読みとればよいことが解ります。
    結論として、求める面積
    Ｓ＝[アームの長さ]*[最終的に赤車輪の示す値]
    となります。
  9. 複雑な図形であっても、大小様々な長方形の組み合わせで近似できるので、面積もアーム長さと、その移動距離で計算することができます。　fig.9
fig1
fig.1		 fig2
fig.2		 fig3
fig.3
fig4
fig.4		 fig5
fig.5		 fig6
fig.6
fig7
fig.7		 fig8
fig.8		 fig9
fig.9

　次にポーラータイプ。こっちは積分が出てきます。
  1. 構造のおさらい
    黒いアームは原点Oで固定されて回転します。青線のアームは黒アームの他端Ｂを原点として回転します。このとき青アームにはそれを軸として赤い車輪が付いていて、アームの動きのうちアームに直角方向の距離を計測します。　fig.10
  2. まず黒いアームですが、これがＢからＢ'に移動することによって黄色の扇型が形作られますが、図形全体をなぞると始点終点が一致しているので、往復で相殺され、無視できます。　fig.11
  3. 積分を用いないための別解
    黒アームは無視できるということが解れば、その長さＯＢが自由に設定できます。仮にＯＢが無限遠であったとすると弧ＢＢ'は直線になり、リニアタイプのプラニメータとして扱う事ができます。
  4. fig.11で青いアームは緑色の図形を形作ります。ＡＢとＡ'Ｂ'は等長なので極僅かな移動に注目すると、fig.12に示すＡＢからＡ''Ｂ'までの平行移動とＢ'を原点にＡ''からＡ'までの回転に分離して扱うことができます。（この辺の考え方が積分だ）
  5. 黄色の平行四辺形の面積δＳ１は、アームの長さＬと赤車輪で計測できるδｄで
    δＳ１＝Ｌ*δｄ
    となります。
    緑の扇型の面積は挟角をδθとすると
    δＳ２＝(Ｌ2*δθ)/２
    となります。
  6. いよいよ積分
    アーム先端が図形を一周なぞる時を考えてδＳ１とδＳ２を積分します。
    まずδｄは、赤車輪の回転で正回転・逆回転しながら計測されるので、積分結果は最終的な赤車輪の出た目 ｄ になります。
    δθもアームが一周する中で右回転・左回転していきますが、アームは最終的に元の位置に戻ってしまうので、積分結果は、０ になってしまいます。
    ということで、騙された気もしますが、面積はfig.13のようになります。
    結論としてこの場合も、求める面積
    Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２
    　＝Ｓ１
    　＝[アームの長さ]*[最終的に赤車輪の示す値]
    となります。
fig.10
fig.10		 fig.11
fig.11
fig.12
fig.12		 fig.13
fig.13

参考にさせて貰ったのは、主にこれらのサイト。その他にも多数ありますが、いずれも英語です。
http://whistleralley.com/planimeter/planimeter.htm
http://www.leinweb.com/snackbar/planimtr/planimtr.htm
http://persweb.wabash.edu/facstaff/footer/Planimeter/PLANIMETER.HTM
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